미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

직사각형 넓이 합의 극한

문제

좌표평면 위의 두 점 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 ), A(2,0)\mathrm{A} ( 2 , 0 )이 있다. 자연수 nn에 대하여 OA‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}}를 nn등분한 점을 차례로 A1\mathrm{A} _{1}, A2\mathrm{A} _{2}, ⋯\cdots , An−1\mathrm{A} _{\mathit{n} - 1}이라 하고, 점 O\mathrm{O}는 A0\mathrm{A} _{\mathit{0}}, 점 A\mathrm{A}는 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}이라 하자. 점 Ak\mathrm{A} _{\mathit{k}}를 지나고 xx축과 수직인 직선이 함수 f(x)=x3−2x2−5x+6f ( x ) = x ^{3} - 2 x ^{2} - 5 x + 6의 그래프와 만나는 점을 Bk\mathrm{B} _{\mathit{k}}라 하자. (k=1k = 1, 22, 33, ⋯\cdots , nn) Ak−1Ak‾\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{\mathit{k} - 1} A _{\mathit{k}}}를 밑변으로 하고, AkBk‾\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{\mathit{k}} B _{\mathit{k}}}를 높이로 하는 직사각형 nn개의 넓이의 합을 SnS _{n}이라 할 때, 2lim⁡n→∞Sn\displaystyle 2 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값을 구하시오. [4점]

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11

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해설

[출제의도] 정적분의 정의 이해하기

Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}

SnS _{n}을 그림으로 나타내면 위와 같이 된다. lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은 아래 그림의 어두운 부분의 넓이와 같으므로,

2lim⁡n→∞Sn=2∫01(x3−2x2−5x+6)dx\displaystyle 2 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = 2 \int _{0} ^{1} {( x ^{3} - 2 x ^{2} - 5 x + 6 ) dx} −2∫12(x3−2x2−5x+6)dx=11\displaystyle - 2 \int _{1} ^{2} {( x ^{3} - 2 x ^{2} - 5 x + 6 ) dx} = {11}

태그

#구분구적법#정적분

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