직사각형 넓이 최대

$\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} = - x + 10$에서 $x ^{2} + 2 x - 20 = 0$ ∴ $\displaystyle x = - 1 \pm \sqrt{21}$ 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$과 직선 $y = - x + 10$는 $\displaystyle x = - 1 \pm \sqrt{21}$일 때 만나므로 $t$의 범위는 $\displaystyle 0 < t < - 1 + \sqrt{21}$이다. 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $y$좌표가 같으므로 $\displaystyle - x + 10 = \frac{1}{2} t ^{2}$에서 $\displaystyle x = 10 - \frac{1}{2} t ^{2}$ 따라서 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $\displaystyle 10 - \frac{1}{2} t ^{2}$이다. ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \left( 10 - \frac{1}{2} t ^{2} \right) - t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = \frac{1}{2} t ^{2}$ 직사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이를 $f ( t )$라 하면 $f ( t )$$\displaystyle = \overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{CD}}$ $\displaystyle = \left( 10 - \frac{1}{2} t ^{2} - t \right) \times \frac{1}{2} t ^{2}$ $\displaystyle = - \frac{1}{4} t ^{4} - \frac{1}{2} t ^{3} + 5 t ^{2}$ ($\displaystyle 0 < t < - 1 + \sqrt{21}$) $f' ( t )$$\displaystyle = - t ^{3} - \frac{3}{2} t ^{2} + 10 t$ $\displaystyle = - \frac{t}{2} ( 2 t - 5 ) ( t + 4 )$ ($\displaystyle 0 < t < - 1 + \sqrt{21}$) $f' ( t ) = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{5}{2}$ (∵ $t > 0$) 함수 $f ( t )$의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f ( t )$는 $\displaystyle t = \frac{5}{2}$일 때, 극대이자 최대이다. ∴ $\displaystyle 10 t = 10 \times \frac{5}{2} = 25$