직사각형 접기 넓이

[출제의도] 삼차방정식 활용하여 문제해결하기 그림과 같이 직사각형 모양의 종이를 대각선을 따라 접었을 때, 겹쳐지지 않은 두 직각삼각형은 합동이다.

이때, 두 직각삼각형의 빗변의 길이를 $x$라 하면 다른 두 변의 길이는 $8 - x$, $a$이다. 피타고라스의 정리에 의하여 $x ^{2} = a ^{2} + ( 8 - x ) ^{2}$이므로 $\displaystyle x = \frac{a ^{2} + 6 4}{1 6}$ 한편, 겹쳐진 부분의 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2} a x$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} a x = 1 0$, $\displaystyle \frac{1}{2} \times a \times \frac{a ^{2} + 6 4}{1 6} = 1 0$, $a ^{3} + 6 4 a - 3 2 0 = ( a - 4 ) ( a ^{2} + 4 a + 8 0 ) = 0$ 따라서 $a = 4$