직사각형 확률변수 빈칸

[출제의도] 이산확률변수의 평균을 구하는 과정을 추론한다. $a$와 $b$는 $1 \leq a < b \leq n$을 만족하는 자연수이고 $b - a$의 값이 확률변수 $X$이므로 $X$가 가질 수 있는 가장 작은 값은 $1$, 가장 큰 값은 $\square {n - 1}$이다. $X = k$일 때, $b - a = k$에서 $a = b - k$이므로 $1 \leq a \leq n - k$이고, $d - c = n - k$에서 $c = d - n + k$인데 $c$는 자연수이고 $d \leq n$이므로 $1 \leq c \leq \square {k}$이다. $1 \leq a \leq n - k$, $1 \leq c \leq k$에서 ${\mathrm{P}} ( X = k )$$\displaystyle = \frac{( n - k ) \times {\square {k}}}{\sum\limits _{i = 1} ^{{\square {n - 1}}} ( n - i ) \times i}$ ${\mathrm{P}} ( X = k )$의 분모를 계산하면 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{n - 1} \left( n - i \right) \times i$$\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{n - 1} ( n i - i ^{2} )$$\displaystyle = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 1 )}{6}$ 따라서 $\mathrm{E} ( \mathit{X} )$$\displaystyle = \mathit{\sum\limits} _{k=1} ^{\square {n - 1}} \left\{ k \times \mathrm{P} ( \mathit{X} = k ) \right\}$ $\displaystyle = \mathit{\sum\limits} _{k = 1} ^{{\square {n - 1}}} \left\{ k \times \frac{6 ( n - k ) \times {\square {k}}}{{n ( n - 1 ) ( n + 1 )}} \right\}$ $\displaystyle = \frac{6}{\square {n ( n - 1 ) ( n + 1 )}} \sum\limits _{k = 1} ^{{\square {n - 1}}} \left\{ k \times ( n - k ) \times {\square {k}} \right\}$$\displaystyle = \frac{n}{2}$ $f ( n ) = n - 1$, $g ( k ) = k$, $h ( n ) = n ( n - 1 ) ( n + 1 )$에서 $\displaystyle \frac{h ( 7 )}{f ( 8 ) \times g ( 6 )}$$\displaystyle = \frac{7 \times 6 \times 8}{7 \times 6}$$= 8$