직사각형 도형 급수

두 점 $\mathrm{E} _{1}$, $\mathrm{F} _{1}$은 변 $\mathrm{A} _{1} D _{1}$의 삼등분점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} E _{1}}} = \overline{E _{1} F _{1}} = \overline{F _{1} D _{1}} = 1$ 점 $\mathrm{P}$에서 변 $\mathrm{A} _{1} D _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P} _{1}$이라 하면 $\triangle \mathrm{A} _{1} B _{1} F _{1}$󰁀$\mathrm{\triangle} P _{1} PF _{1}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} F _{1}}} : \overline{A _{1} B _{1}} = 1 : 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} F _{1}}} : \overline{P _{1} P} = 1 : 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P}} = 1$ $\therefore$$\displaystyle \triangle \mathrm{A} _{1} E _{1} G _{1} = \triangle E _{1} F _{1} P = \triangle F _{1} D _{1} H _{1} = \frac{1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}} = \overline{C _{1} H _{1}} = 3$이므로 삼각형 $\mathrm{B} _{1} C _{1} H _{1}$은 직각이등변삼각형이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{SS} _{1} H _{1}$도 직각이등변삼각형이므로 점 $\mathrm{S}$에서 변 $\mathrm{C} _{1} D _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{S} _{1}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{SS _{1}}} = \mathit{a}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{S _{1} H _{1}}} = \mathit{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{S _{1} C _{1}}} = \mathit{3} - a$ $\triangle \mathrm{E} _{1} C _{1} D _{1}$󰁀$\triangle \mathrm{SC} _{1} S _{1}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{SS _{1}}} : \overline{S _{1} C _{1}} = 1 : 2$, $a : \left( 3 - a \right) = 1 : 2$, $a = 1$ $\therefore$$\displaystyle \triangle \mathrm{GB} _{1} G _{1} = \triangle SC _{1} H _{1} = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{3}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ 삼각형 $\mathrm{I} _{1} B _{1} C _{1}$은 직각이등변삼각형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}} = 3$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{I} _{1} B _{1} C _{1} = \frac{9}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉢ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 직사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$의 넓이에서 ㉠, ㉡, ㉢의 넓이를 제외하면 되므로 $S _{1}$$\displaystyle = 12 - \left( 3 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{3}{2} + \frac{9}{4} \right)$$\displaystyle = \frac{21}{4}$

위의 그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} B _{2}}} = \mathit{4} k$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{2} C _{2}}} = \mathit{3} k$, $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{B _{1} B _{2}}} = \mathit{3 - 3 k}}{2}$ 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{1} B _{2}$는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle 4 k = \frac{3 - 3 k}{2}$, $\displaystyle k = \frac{3}{11}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} B _{2}}} = \frac{12}{11}$이다. 두 직사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$, $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$는 닮음이고 닮음비는 $\displaystyle 4 : \frac{12}{11} = 11 : 3$이다. 이상에서 $S _{n}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{21}{4}$, 공비가 $\displaystyle \left( \frac{3}{11} \right) ^{2} = \frac{9}{121}$인 등비수열의 합이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \frac{\frac{21}{4}}{1 - \frac{9}{121}} = \frac{363}{64}$