직사각형 도형 급수

아래 그림과 같이 삼각형 $ABD$에 내접하는 직사각형을 $PQRS$라고 할 때, $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle \sqrt{5}$

주어진 조건에 의해 직사각형의 두 변의 길이가 $1 : 2$이므로 $\displaystyle \overline{PQ} = k , \overline{PS} = 2 k$가 된다. 직각삼각형 $ABD$에서 $\displaystyle \overline{BD} = \sqrt{5}$ $A$에서 $\displaystyle \overline{BD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 두면 삼각형 $ABD$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \overline{AB} \times \overline{AD} = \frac{1}{2} \overline{BD} \times \overline{AH}$ $\displaystyle \overline{AB} \times \overline{AD} = \overline{BD} \times \overline{AH}$ $\displaystyle 1 \times 2 = \sqrt{5} \times \overline{AH}$ $\displaystyle \therefore \overline{AH} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle \overline{AH}$와 $\displaystyle \overline{PS}$의 교점을 $K$라 하면 $\displaystyle \overline{AK} = \frac{2}{\sqrt{5}} - k$ 삼각형 $ABD$와 삼각형 $APS$는 닮음이므로 $\displaystyle \overline{PS} : \overline{BD} = \overline{AK} : \overline{AH}$ $\displaystyle 2 k : \sqrt{5} = ( \frac{2}{\sqrt{5}} - k ) : \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle k = \frac{2 \sqrt{5}}{9}$ 그러므로 직사각형 $ABCD$의 짧은 변의 길이 $1$이 직사각형 $PQRS$의 짧은 변 $k$로 줄었기 때문에 길이가 줄어드는 비율은 $k$이고 넓이가 줄어드는 비율은 $\displaystyle k ^{2} = \frac{40}{81}$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$이 의미하는 것은 발생하는 모든 직사각형의 합이므로 무한등비급수의 공식에 의해서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{2 k ^{2}}{1 - k ^{2}} = \frac{2 \times \frac{20}{81}}{1 - \frac{20}{81}} = \frac{40}{61}$이다.