미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 등비급수

문제

그림과 같이 A1B1‾=1,B1C1‾=26\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}} = 1 , {\overline{B _{1} C _{1}}} = 2 \sqrt{6}인 직사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}이 있다. 중심이 B1\mathrm{B} _{1}이고 반지름의 길이가 11인 원이 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}과 만나는 점을 E1\mathrm{E} _{1}이라 하고, 중심이 D1\mathrm{D} _{1}이고 반지름의 길이가 11인 원이 선분 A1D1\mathrm{A} _{1} D _{1}과 만나는 점을 F1\mathrm{F} _{1}이라 하자. 선분 B1D1\mathrm{B} _{1} D _{1}이 호 A1E1\mathrm{A} _{1} E _{1}, 호 C1F1\mathrm{C} _{1} F _{1}과 만나는 점을 각각 B2,D2\mathrm{B} _{2} , D _{2}라 하고, 두 선분 B1B2,D1D2\mathrm{B} _{1} B _{2} , D _{1} D _{2}의 중점을 각각 G1,H1\mathrm{G} _{1} , H _{1}이라 하자. 두 선분 A1G1,G1B1\mathrm{A} _{1} G _{1} , G _{1} B _{1}와 호 B2A1\mathrm{B} _{2} A _{1}로 둘러싸인 부분인 모양의 도형과 두 선분 D2H1,H1F1\mathrm{D} _{2} H _{1} , H _{1} F _{1}과 호 F1D2\mathrm{F} _{1} D _{2}로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 선분 B2D2\mathrm{B} _{2} D _{2}가 대각선이고 모든 변이 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}또는 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}에 평행한 직사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}를 그린다. 직사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}에 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형과 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이과 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [3점]

①25π−126−564\displaystyle \frac{25 \pi - 12 \sqrt{6} - 5}{64}②25π−126−464\displaystyle \frac{25 \pi - 12 \sqrt{6} - 4}{64}③25π−106−664\displaystyle \frac{25 \pi - 10 \sqrt{6} - 6}{64}④25π−106−564\displaystyle \frac{25 \pi - 10 \sqrt{6} - 5}{64}⑤25π−106−464\displaystyle \frac{25 \pi - 10 \sqrt{6} - 4}{64}

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④

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해설

[출제의도] 도형 사이의 관계를 이용하여 등비급수의 합을 구한다. 그림 RnR _{n}에서 새로 색칠한 부분의 넓이를 ana _{n}이라 하자. ∠AnBnDn\angle \mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}=θ= \theta라 하면 B1D1‾\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} D _{1}}=12+(26)2\displaystyle = \sqrt{1 ^{2} + ( 2 \sqrt{6} ) ^{2}}=5= 5이므로 sin⁡θ\sin \theta=AnDn‾BnDn‾\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}}}{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}}}=A1D1‾B1D1‾\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{A} _{\mathit{1}} \mathrm{D} _{\mathit{1}}}}}{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{1}} \mathrm{D} _{\mathit{1}}}}}=265\displaystyle = \frac{2 \sqrt{6}}{5}, cos⁡θ\cos \theta=15\displaystyle = \frac{1}{5} 두 선분 A1G1\mathrm{A} _{1} G _{1}, G1B2\mathrm{G} _{1} B _{2}와 호 B2A1\mathrm{B} _{2} A _{1}로 둘러싸인 도형의 넓이는 부채꼴 B1B2A1\mathrm{B} _{1} B _{2} A _{1}의 넓이에서 삼각형 A1B1G1\mathrm{A} _{1} B _{1} G _{1}의 넓이를 뺀 것과 같으므로 12×12×θ−12×1×12×sin⁡θ\displaystyle \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \theta - \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} \times \sin \theta=θ2−610\displaystyle = \frac{\theta}{2} - \frac{\sqrt{6}}{10} 두 선분 D2H1\mathrm{D} _{2} H _{1}, H1F1\mathrm{H} _{1} F _{1}과 호 F1D2\mathrm{F} _{1} D _{2}로 둘러싸인 도형의 넓이는 부채꼴 D1F1D2\mathrm{D} _{1} F _{1} D _{2}의 넓이에서 삼각형 D1F1H1\mathrm{D} _{1} F _{1} H _{1}의 넓잉를 뺀 것과 같으므로 12×12×(π2−θ)−12×1×12×sin⁡(π2−θ)\displaystyle \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) - \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} \times \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)=π4−θ2−120\displaystyle = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} - \frac{1}{20} 그러므로 a1=(θ2−610)+(π4−θ2−120)\displaystyle a _{1} = \left( \frac{\theta}{2} - \frac{\sqrt{6}}{10} \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} - \frac{1}{20} \right)=π4−610−120\displaystyle = \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{1}{20} Bn+1Dn+1‾BnDn‾\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}}}}{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}}}=B2D2‾B1D1‾\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{B} _{2} \mathrm{D} _{2}}}}{{\overline{\mathrm{B} _{1} \mathrm{D} _{1}}}}=B1D1‾−(B1B2‾+D1D2‾)B1D1‾\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{B} _{1} \mathrm{D} _{1}}} - ( {\overline{\mathrm{B} _{1} \mathrm{B} _{2}}} + {\overline{\mathrm{D} _{1} \mathrm{D} _{2}}} )}{{\overline{\mathrm{B} _{1} \mathrm{D} _{1}}}}=35\displaystyle = \frac{3}{5} 두 직사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}과 An+1Bn+1Cn+1Dn+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}의 닮음비는 5:35 : 3이므로 an+1an\displaystyle \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}=(35)2\displaystyle = \left( \frac{3}{5} \right) ^{2}=925\displaystyle = \frac{9}{25} 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 a1a _{1}이고 공비가 925\displaystyle \frac{9}{25}인 등비수열이므로 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}=a11−925\displaystyle = \frac{a _{1}}{1 - \frac{9}{25}}=25π−106−564\displaystyle = \frac{25 \pi - 10 \sqrt{6} - 5}{64}

태그

#등비급수#도형

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