미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 등비급수

문제

그림과 같이 A1B1‾=4\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} \mathit{_{1}} {\mathrm{B}} \mathit{_{1}}} = 4, A1D1‾=1\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}} = 1인 직사각형 A1B1C1D1{\mathrm{A}} \mathit{_{1}} {\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}에서 두 대각선의 교점을 E1{\mathrm{E}} \mathit{_{1}}이라 하자. A2D1‾=D1E1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} \mathit{_{2}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}} = \overline{{\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}}, ∠A2D1E1=π2\displaystyle \angle {\mathrm{A}} \mathit{_{2}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}} = \frac{\pi}{2}이고 선분 D1C1{\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}과 선분 A2E1{\mathrm{A}} \mathit{_{2}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}이 만나도록 점 A2{\mathrm{A}} \mathit{_{2}}를 잡고, B2C1‾=C1E1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}} = \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}}, ∠B2C1E1=π2\displaystyle \angle {\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}} = \frac{\pi}{2}이고 선분 D1C1{\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}과 선분 B2E1{\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}이 만나도록 점 B2{\mathrm{B}} \mathit{_{2}}를 잡는다. 두 삼각형 A2D1E1{\mathrm{A}} \mathit{_{2}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}, B2C1E1{\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}을 그린 후 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 A2B2‾:A2D2‾=4:1\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} \mathit{_{2}} {\mathrm{B}} \mathit{_{2}}} : \overline{{\mathrm{A}} \mathit{_{2}} {\mathrm{D}} \mathit{_{2}}} = 4 : 1이고 선분 D2C2{\mathrm{D}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}가 두 선분 A2E1{\mathrm{A}} \mathit{_{2}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}, B2E1{\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}과 만나지 않도록 직사각형 A2B2C2D2{\mathrm{A}} \mathit{_{2}} {\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} {\mathrm{D}} \mathit{_{2}}를 그린다. 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 세 점 E2{\mathrm{E}} \mathit{_{2}}, A3{\mathrm{A}} \mathit{_{3}}, B3{\mathrm{B}} \mathit{_{3}}을 잡고 두 삼각형 A3D2E2{\mathrm{A}} \mathit{_{3}} {\mathrm{D}} \mathit{_{2}} {\mathrm{E}} \mathit{_{2}}, B3C2E2{\mathrm{B}} \mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} {\mathrm{E}} \mathit{_{2}}를 그린 후 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [3점]

⋯\cdots
R1R _{1}R2R _{2}⋯\cdots

①685\displaystyle \frac{68}{5}②343\displaystyle \frac{34}{3}③687\displaystyle \frac{68}{7}④172\displaystyle \frac{17}{2}⑤689\displaystyle \frac{68}{9}

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③

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해설

B1D1‾=1+16=17\displaystyle {\overline{B _{1} D _{1}}} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}이므로 D1E1‾=C1E1‾=172\displaystyle {\overline{D _{1} E _{1}}} = {\overline{C _{1} E _{1}}} = \frac{\sqrt{17}}{2}, A2E1‾=B2E1‾=172\displaystyle {\overline{A _{2} E _{1}}} = {\overline{B _{2} E _{1}}} = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}} ∴△A2D1E1=△B2C1E1=12×(172)2=178\displaystyle \therefore \triangle A _{2} D _{1} E _{1} = \triangle B _{2} C _{1} E _{1} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\sqrt{17}}{2} \right) ^{2} = \frac{17}{8} ∠C1A1B1=α\angle C _{1} A _{1} B _{1} = \alpha라 하면 ∠D1E1A1=2α\angle D _{1} E _{1} A _{1} = 2 \alpha이고 ∠A2E1D1=∠B2E1C1=π4\displaystyle \angle A _{2} E _{1} D _{1} = \angle B _{2} E _{1} C _{1} = \frac{\pi}{4}이므로 ∠A2E1B2=π2−2α\displaystyle \angle A _{2} E _{1} B _{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \alpha sin⁡α=117\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}, cos⁡α=417\displaystyle \cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}}이므로 cos⁡(π2−2α)=sin⁡2α\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2 \alpha \right) = \sin 2 \alpha=2sin⁡αcos⁡α=817\displaystyle = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{8}{17} ∴A2B2‾2=172+172−2×172×172×817=9\displaystyle \therefore {\overline{A _{2} B _{2}}} ^{2} = \frac{17}{2} + \frac{17}{2} - 2 \times \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}} \times \frac{8}{17} = 9 ∴A2B2‾=3\displaystyle \therefore {\overline{A _{2} B _{2}}} = 3 그림 R1R _{1}의 색칠된 도형의 넓이는 2×178=174\displaystyle 2 \times \frac{17}{8} = \frac{17}{4}이고, 그림 R1R _{1}의 색칠된 도형과 그림 R2R _{2}에 추가되는 색칠된 도형의 닮음비는 A2B2‾A1B1‾=34\displaystyle \frac{{\overline{A _{2} B _{2}}}}{{\overline{A _{1} B _{1}}}} = \frac{3}{4}이므로 등비급수의 공비는 (34)2=916\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right) ^{2} = \frac{9}{16}이다. lim⁡n→∞Sn=1741−916=687\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \frac{\frac{17}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{68}{7}

태그

#등비급수#도형

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