직사각형 등비급수

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제 해결하기

점 $\mathrm{F} _{1}$에서 선분 $\mathrm{C} _{1} D _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H} _{1}$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{D} _{1} H _{1}}} = \mathit{l}$$\left( l > 0 ) \right.$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} _{1} H _{1}}} \mathit{=} {\overline{\mathrm{C} _{1} H _{1}}} = 2 \mathit{l}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{1} D _{1}}} = 3 \mathit{l} = 1$ $\displaystyle l = \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{D} _{1} H _{1}}} = \frac{\mathit{1}}{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} _{1} H _{1}}} \mathit{=} \frac{2}{3}$ 삼각형 $\mathrm{C} _{1} \mathrm{D} _{1} F _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times 1 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $\displaystyle \angle {\mathrm{B} _{1} E _{1} F _{1}} = \frac{\pi}{2}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{G} _{1} E _{1}} = \overline{\mathrm{G} _{1} F _{1}}$이므로 점 $\mathrm{G} _{1}$은 삼각형 $\mathrm{B} _{1} F _{1} E _{1}$의 외접원의 중심이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} G _{1}} = \overline{G _{1} F _{1}}$이므로 삼각형 $\mathrm{G} _{1} F _{1} E _{1}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{B} _{1} F _{1} E _{1}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} E _{1}} = \sqrt{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{E} _{1} F _{1}}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{G} _{1} F _{1} E _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{B} _{1} E _{1}}} \times {\overline{\mathrm{E} _{1} F _{1}}} \right) = \frac{1}{4} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{6}$ $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

두 삼각형 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}} \mathrm{F} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{G} _{\mathit{n}} \mathrm{F} _{\mathit{n}} \mathrm{E} _{\mathit{n}}$으로 만들어진 모양의 도형의 넓이를 $T _{n}$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}} = a$$\left( a > 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}} = 2 \mathit{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}} = 2 \mathit{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} = \mathit{a}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} = 5 \mathit{a}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{2}{5} {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}$ 두 직사각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}$의 닮음비는 $\displaystyle 1 : \frac{2}{5}$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1 ^{2} : \left( \frac{2}{5} \right) ^{2}$이다. $\displaystyle T _{n + 1} = \frac{4}{25} T _{n}$ 수열 $\left\{ T _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle T _{1} = S _{1} = \frac{1}{2}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{4}{25}$인 등비수열이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} T _{n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{4}{25}} = \frac{25}{42}}$