직사각형 등비급수

그림과 같이 $\displaystyle {\overline{A _{0} A _{1}}} = 1$, $\displaystyle {\overline{A _{1} B _{1}}} = 2$인 직사각형 $A _{0} A _{1} B _{1} C _{1}$의 꼭짓점 $A _{1}$에서 대각선 $A _{0} B _{1}$에 내린 수선의 발을 $B _{2}$라 하고, 점 $B _{2}$에서 두 선분 $A _{0} A _{1}$과 $A _{1} B _{1}$에 내린 수선의 발을 각각 $C _{2}$, $A _{2}$라 하자. 직사각형 $A _{1} A _{2} B _{2} C _{2}$의 꼭짓점 $A _{2}$에서 대각선 $A _{1} B _{2}$에 내린 수선의 발을 $B _{3}$이라 하고, 점 $B _{3}$에서 두 선분 $A _{1} A _{2}$와 $A _{2} B _{2}$에 내린 수선의 발을 각각 $C _{3}$, $A _{3}$이라 하자. 이와 같이 자연수 $n$에 대하여 직사각형 $A _{n - 1} A _{n} B _{n} C _{n}$의 꼭짓점 $A _{n}$에서 대각선 $A _{n - 1} B _{n}$에 내린 수선의 발을 $B _{n + 1}$이라 하고, 점 $B _{n + 1}$에서 두 선분 $A _{n - 1} A _{n}$과 $A _{n} B _{n}$에 내린 수선의 발을 각각 $C _{n + 1}$, $A _{n + 1}$이라 하자. 삼각형 $A _{n - 1} B _{n} C _{n}$의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{22}{21}$②$\displaystyle \frac{23}{21}$③$\displaystyle \frac{8}{7}$④$\displaystyle \frac{25}{21}$⑤$\displaystyle \frac{26}{21}$