미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 단면 입체

문제

그림과 같이 곡선 y=ln⁡1x\displaystyle y = \ln \frac{1}{x}(1e≤x≤1)\displaystyle \left( \frac{1}{e} \leq x \leq 1 \right)과 직선 x=1e\displaystyle x = \frac{1}{e}, 직선 x=1x = 1 및 직선 y=2y = 2로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 xx축 위의 x=tx = t(1e≤t≤1)\displaystyle \left( \frac{1}{e} \leq t \leq 1 \right)인 점을 지나고 xx축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 tt인 직사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

1e\displaystyle \frac{1}{e} y=ln⁡1x\displaystyle y = \ln \frac{1}{x}

①12−13e2\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3 e ^{2}}②12−14e2\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{4 e ^{2}}③34−13e2\displaystyle \frac{3}{4} - \frac{1}{3 e ^{2}}④34−14e2\displaystyle \frac{3}{4} - \frac{1}{4 e ^{2}}⑤34−15e2\displaystyle \frac{3}{4} - \frac{1}{5 e ^{2}}

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④

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해설

단면의 넓이는 S(t)=t(2+ln⁡t)S ( t ) = t ( 2 + \ln t ) 이므로 부피 VV는 V=∫1e1t(2+ln⁡t)dt\displaystyle V = \int _{\frac{1}{e}} ^{1} {} t ( 2 + \ln t ) dt =[12t2(2+ln⁡t)]1e1−∫1e112tdt\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} t ^{2} ( 2 + \ln t ) \right] _{\frac{1}{e}} ^{1} - \int _{\frac{1}{e}} ^{1} {} \frac{1}{2} tdt =1−12e2−[14t2]1e1\displaystyle = 1 - \frac{1}{2 e ^{2}} - \left[ \frac{1}{4} t ^{2} \right] _{\frac{1}{e}} ^{1} =1−12e2−14+14e2\displaystyle = 1 - \frac{1}{2 e ^{2}} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 e ^{2}} =34−14e2\displaystyle = \frac{3}{4} - \frac{1}{4 e ^{2}}

태그

#입체도형의 부피#부분적분

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