직사각형 부채꼴 급수

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB} _{1}} = 2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD} _{1}} = \sqrt{5}$이고 중심이 $\mathrm{A}$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD} _{1}}$인 원과 선분 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$의 교점을 $\mathrm{E} _{1}$이기 때문에 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} {\mathrm{E}} _{1}} = \sqrt{5}$이다. 이때 $\triangle {\mathrm{AB} _{1} E _{1}}$는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해서 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} E _{1}} = 1$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{E} _{1} {\mathrm{C}} _{1}} = \sqrt{5} - 1$이다. 색칠된 부분의 넓이는 부채꼴 ${\mathrm{F}} _{1} {\mathrm{C}} _{1} {\mathrm{D}} _{1}$의 넓이에서 삼각형 ${\mathrm{E}} _{1} {\mathrm{C}} _{1} {\mathrm{D}} _{1}$의 넓이를 뺀 것이므로 $S _{1}$$\displaystyle = \frac{1}{4} \cdot 2 ^{2} \cdot \pi - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot ( \sqrt{5} - 1 )$ $\displaystyle = \pi - \sqrt{5} - 1$ 한편,

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB} _{2}} = 2 k$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD} _{2}} = \sqrt{5} k$라 두면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC} _{2}} = 3 k$이다. 이때 □$\mathrm{A} {\mathrm{B} _{2}} {\mathrm{C} _{2} {\mathrm{D}} _{2}}$󰁀□$\mathrm{A} {\mathrm{B} _{1}} {\mathrm{C} _{1} {\mathrm{D}} _{1}}$이므로 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{C} _{2}$와 점 $\mathrm{C} _{1}$는 일직선상에 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC} _{1}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{AC} _{2}} + \overline{\mathrm{C} _{2} C _{1}}$ $3 = 3 k + 2$ $\therefore$ $\displaystyle k = \frac{1}{3}$ 따라서 □$\mathrm{A} {\mathrm{B} _{2}} {\mathrm{C} _{2} {\mathrm{D}} _{2}}$와 □$\mathrm{A} {\mathrm{B} _{1}} {\mathrm{C} _{1} {\mathrm{D}} _{1}}$의 닮음비는 $1 : 3$이고 넓이의 비는 $1 : 9$이다. $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$$\displaystyle = \frac{\pi - \sqrt{5} - 1}{1 - \frac{1}{9}}$$\displaystyle = \frac{9 \pi - 9 \sqrt{5} + 9}{8}$