직사각형 안의 점과 네 꼭짓점 거리

직사각형의 두 대각선 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$의 교점을 $\mathrm{O}$라 하면 점 $\mathrm{O}$는 두 대각선의 중점이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}}$이다. 삼각형 $\mathrm{PAC}$에서 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PC}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{PO}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{OA}} ^{2}$ 삼각형 $\mathrm{PBD}$에서 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} ^{2} + \overline{\mathrm{PD}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{PO}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{OB}} ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}}$이므로 두 식의 오른쪽이 같다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PC}} ^{2} = \overline{\mathrm{PB}} ^{2} + \overline{\mathrm{PD}} ^{2}$ $\displaystyle 9 + 49 = 16 + \overline{\mathrm{PD}} ^{2}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}} ^{2} = 42$