직각삼각형과 다항식 값

[출제의도] 다항식의 연산을 이용하여 도형 문제 해결하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}}$$= 1$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}}$$= x$이고 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $\displaystyle \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = \frac{8}{3}$ 직각삼각형 $\mathrm{AHC}$와 직각삼각형 $\mathrm{CHB}$는 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}}$$\displaystyle : {\overline{\mathrm{CH}}} = {\overline{\mathrm{CH}}}$$\displaystyle : {\overline{\mathrm{BH}}}$이다. $\displaystyle \left( \frac{8}{3} - x \right)$$: 1 = 1$$: x$이므로 $3 x ^{2} - 8 x + 3 = 0$ $0 < x < 1$이므로 $\displaystyle x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$이다. 한편, 다항식 $3 t ^{3} - 5 t ^{2} + 4 t + 7$을 $3 t ^{2} - 8 t + 3$으로 나누었을 때의 몫은 $t + 1$, 나머지는 $9 t + 4$이므로 $3 t ^{3} - 5 t ^{2} + 4 t + 7 = \left( 3 t ^{2} - 8 t + 3 \right) \left( t + 1 \right) + 9 t + 4$ 따라서 $3 x ^{3} - 5 x ^{2} + 4 x + 7$$= \left( 3 x ^{2} - 8 x + 3 \right) \left( x + 1 \right) + 9 x + 4$ $= 9 x + 4$$\displaystyle = 9 \times \frac{4 - \sqrt{7}}{3} + 4$ $\displaystyle = 16 - 3 \sqrt{7}$ 이다.