직각삼각형 사각형 급수

$\angle \mathrm{A} = 60 ^\circ$, $\angle \mathrm{B} _{1} = 30 ^\circ$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC} _{1}} = 6$인 직각삼각형 $\mathrm{AB} _{1} C _{1}$이 있다. 선분 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$을 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{P} _{1}$이라 하자.두 선분 $\mathrm{AB} _{1}$, $\mathrm{AC} _{1}$의 중점을 각각 $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$라 하고, 선분 $\mathrm{B} _{2} C _{2}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{P} _{2}$라 할 때, 네 점 $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{C} _{1}$, $\mathrm{P} _{2}$를 꼭짓점으로 하는 사각형 $\mathrm{B} _{\mathit{2}} P _{1} C _{1} P _{2}$를 만든다. 두 선분 $\mathrm{AB} _{2}$, $\mathrm{AC} _{2}$의 중점을 각각 $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{C} _{3}$이라 하고, 선분 $\mathrm{B} _{3} C _{3}$을 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{P} _{3}$이라 할 때, 네 점 $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$, $\mathrm{P} _{3}$을 꼭짓점으로 하는 사각형 $\mathrm{B} _{\mathit{3}} \mathrm{P} _{2} C _{2} P _{3}$을 만든다. 두 선분 $\mathrm{AB} _{3}$, $\mathrm{AC} _{3}$의 중점을 각각 $\mathrm{B} _{4}$, $\mathrm{C} _{4}$라 하고, 선분 $\mathrm{B} _{4} C _{4}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{P} _{4}$라 할 때, 네 점 $\mathrm{B} _{4}$, $\mathrm{P} _{3}$, $\mathrm{C} _{3}$, $\mathrm{P} _{4}$를 꼭짓점으로 하는 사각형 $\mathrm{B} _{\mathit{4}} \mathrm{P} _{3} C _{3} P _{4}$를 만든다. 이와 같은 과정을 계속할 때, 사각형 $\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} P _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}$의 넓이를 $S _{n}$ $( n = 1 , 2 , 3 , \cdot \cdot \cdot )$ 이라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$의 값은? [3점]

①$\displaystyle 8 \sqrt{3}$②$\displaystyle 7 \sqrt{3}$③$\displaystyle 6 \sqrt{3}$④$\displaystyle 5 \sqrt{3}$⑤$\displaystyle 4 \sqrt{3}$