미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직각삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 AB‾=1\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 1이고 ∠ABC=π2\displaystyle \angle {\mathrm{ABC}} = \frac{\pi}{2}인 직각삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}에서 ∠CAB=θ\angle {\mathrm{CAB}} = \theta라 하자. 선분 AC{\mathrm{AC}}를 4:74 : 7로 내분하는 점을 D{\mathrm{D}}라 하고 점 C{\mathrm{C}}에서 선분 BD{\mathrm{BD}}에 내린 수선의 발을 E{\mathrm{E}}라 할 때, 삼각형 CEB{\mathrm{CEB}}의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)θ3=qp\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}이고, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 보기
9

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

그림에서 삼각형 BCE, BDM은 닮음이고, BC‾=tan⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \tan \theta, BD‾=11149+16tan⁡2θ\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \frac{1}{11} \sqrt{49 + 16 \tan ^{2} \theta} S(θ)=S ( \theta ) =12×711×411tan⁡θ×(112tan⁡2θ49+16tan⁡2θ)\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{7}{11} \times \frac{4}{11} \tan \theta \times \left( \frac{11 ^{2} \tan ^{2} \theta}{49 + 16 \tan ^{2} \theta} \right)==14tan⁡349+16tan⁡2θ\displaystyle \frac{14 \tan ^{3}}{49 + 16 \tan ^{2} \theta} lim⁡θ→0+S(θ)θ3=\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}} =1449+0=27\displaystyle \frac{14}{49 + 0} = \frac{2}{7}, ∴\therefore 2+7=92 + 7 = 9

태그

#삼각함수의 극한#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로