미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직각삼각형 둘레 극한

문제

그림과 같이 양수 θ\theta에 대하여 ∠AOB=θ,∠OAB=π2,OA‾=10\displaystyle \angle AOB = \theta , \angle OAB = \frac{\pi}{2} , \overline{OA} = 10인 직각삼각형 OABOAB가 있다. 변 OBOB 위에 있는 OC‾=10\displaystyle \overline{OC} = 10인 점 CC에 대하여 삼각형 ABCABC의 둘레의 길이를 f(θ)f ( \theta )라 하자. lim⁡θ→+0f(θ)θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \frac{f ( \theta )}{\theta}의 값을 구하시오. [4점]

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2020

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해설

AM‾=10sin⁡θ2\displaystyle \overline{AM} = 10 \sin \frac{\theta}{2} ∴ AC‾=20sin⁡θ2\displaystyle \overline{AC} = 20 \sin \frac{\theta}{2} OB‾=10sec⁡θ\displaystyle \overline{OB} = 10 \sec {\theta}이므로 BC‾=10sec⁡θ−10\displaystyle \overline{BC} = 10 \sec {\theta} - 10 이고 AB‾=10tan⁡θ\displaystyle \overline{AB} = 10 \tan {\theta} ∴ f(θ)=10tan⁡θ+20sin⁡θ2+10sec⁡θ−10\displaystyle f ( \theta ) = 10 \tan \theta + 20 \sin \frac{\theta}{2} + 10 \sec \theta - 10 lim⁡x→+010tan⁡θ+20sin⁡θ2+10sec⁡θ−10θ=10+10+0=20\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} \frac{10 \tan \theta + 20 \sin \frac{\theta}{2} + 10 \sec \theta - 10}{\theta} = 10 + 10 + 0 = 20

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#삼각함수의 극한#도형

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