직각삼각형 도형 극한

[출제의도] 도형의 성질을 이용한 삼각함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 정 $2 n$다각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle 1 - \cos \frac{\pi}{n}$이고, 정 $2 n$다각형의 중심에서 한 변까지의 길이를 $l$이라 하면, $\displaystyle \tan \frac{\pi}{2 n} = \frac{\frac{1}{2} \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right)}{l}$이므로, $\displaystyle l = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{n}}{2 \tan \frac{\pi}{2 n}}$이다. 따라서, $\displaystyle S _{n} = 2 n \times \left\{ \frac{1}{2} \times l \times \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) \right\} = \frac{n \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) ^{2}}{2 \tan \frac{\pi}{2 n}} = \frac{2 n \times \sin ^{4} \frac{\pi}{2 n}}{\tan \frac{\pi}{2 n}}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n ^{2} S _{n} & = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 n ^{3} \times \sin ^{4} \frac{\pi}{2 n}}{\tan \frac{\pi}{2 n}} \end{aligned}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{\sin ^{4} \pi x}{x ^{3} \times \tan \pi x} \left( \frac{1}{2 n} = x \text{치환} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \times \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left( \frac{\sin \pi x}{x} \right) ^{3} \times \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{\sin \pi x}{\tan \pi x}$ $\displaystyle \begin{aligned} = \frac{1}{4} \times \pi ^{3} \times 1 = \frac{1}{4} \pi ^{3} & \end{aligned}$