직각삼각형 등비급수

그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AC} = 5$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 6$인 이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$의 중점 $\mathrm{M} _{1}$을 잡고 두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$ 위에 각각 점 $\mathrm{B} _{1}$, $\mathrm{C} _{1}$을 $\mathrm{\angle} B _{1} M _{1} C _{1} = 90 ^\circ$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}}$//$\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$가 되도록 잡아 직각삼각형 $\mathrm{B} _{1} M _{1} C _{1}$을 만든다. 선분 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$의 중점 $\mathrm{M} _{2}$를 잡고 두 선분 $\mathrm{AB} _{1}$, $\mathrm{AC} _{1}$ 위에 각각 점 $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$를 $\angle \mathrm{B} _{2} M _{2} C _{2} = 90 ^\circ$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{2} C _{2}}}$//$\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}}$이 되도록 잡아 직각삼각형 $\mathrm{B} _{2} M _{2} C _{2}$를 만든다. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 만든 직각삼각형 ${\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{M}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}$의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{47}{11}$②$\displaystyle \frac{48}{11}$③$\displaystyle \frac{49}{11}$④$\displaystyle \frac{50}{11}$⑤$\displaystyle \frac{51}{11}$