직각이등변삼각형이 되는 모든 꼭짓점

$\mathrm{C}$ 가 직각인 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{CB}}$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} + \overline{\mathrm{CB}} ^{2} = \overline{\mathrm{AB}} ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} = \overline{\mathrm{CB}} ^{2}$ 에서 $( a - 1 ) ^{2} + ( b - 1 ) ^{2} = ( a - 5 ) ^{2} + ( b - 3 ) ^{2}$ $- 2 a - 2 b + 2 = - 10 a - 6 b + 34$ 에서 $2 a + b = 8$, 즉 $b = 8 - 2 a$ ㉠ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = ( 5 - 1 ) ^{2} + ( 3 - 1 ) ^{2} = 20$ 이므로 $\displaystyle 2 \overline{\mathrm{CA}} ^{2} = 20$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} = 10$ $( a - 1 ) ^{2} + ( b - 1 ) ^{2} = 10$ 에 ㉠을 대입하면 $( a - 1 ) ^{2} + ( 7 - 2 a ) ^{2} = 10$ $5 a ^{2} - 30 a + 40 = 0$, $a ^{2} - 6 a + 8 = 0$ $( a - 2 ) ( a - 4 ) = 0$ 에서 $a = 2$ 또는 $a = 4$ 즉 $\mathrm{C} ( 2 , 4 )$ 또는 $\mathrm{C} ( 4 , 0 )$ 이고 두 점 모두 직선 $\mathrm{AB}$ 위에 있지 않다. 따라서 모든 $a$ 의 값의 합은 $2 + 4 = 6$