직각이등변삼각형이 되는 점의 개수

직각인 꼭짓점이 어디인지에 따라 나눈다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = \left( 5 - 1 \right) ^{2} + \left( 3 - 1 \right) ^{2} = 20$ (ⅰ) $\mathrm{C}$가 직각인 경우 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{CB}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} + \overline{\mathrm{CB}} ^{2} = 20$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} = \overline{\mathrm{CB}} ^{2} = 10$ 점 $\mathrm{C}$를 $\left( x , y \right)$라 하면 $\left( x - 1 \right) ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2} = 10$, $\left( x - 5 \right) ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = 10$ 두 식을 빼면 $8 x + 4 y - 32 = 0$, 즉 $y = 8 - 2 x$ 이를 대입하면 $\left( x - 1 \right) ^{2} + \left( 7 - 2 x \right) ^{2} = 10$ $5 x ^{2} - 30 x + 40 = 0$, $x ^{2} - 6 x + 8 = 0$이므로 $x = 2$ 또는 $x = 4$ 즉 $\mathrm{C} \mathit{\left( 2 , 4 \right)}$, $\mathrm{C} \mathit{\left( 4 , 0 \right)}$의 $2$개 (ⅱ) $\mathrm{A}$가 직각인 경우 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 2 \sqrt{5}$이고 직선 $\mathrm{AC}$는 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\mathrm{AB}$와 수직이므로 점 $\mathrm{C}$는 점 $\mathrm{A}$를 기준으로 서로 반대쪽에 하나씩 있다. 실제로 $\mathrm{C} \mathit{\left( - 1 , 5 \right)}$, $\mathrm{C} \mathit{\left( 3 , - 3 \right)}$의 $2$개 (ⅲ) $\mathrm{B}$가 직각인 경우 같은 방법으로 $\mathrm{C} \mathit{\left( 3 , 7 \right)}$, $\mathrm{C} \mathit{\left( 7 , - 1 \right)}$의 $2$개 세 경우에서 얻은 여섯 점은 모두 서로 다르다. 따라서 점 $\mathrm{C}$의 개수는 $6$