직각이등변삼각형 무게중심

[출제의도] 좌표를 이용하여 계차수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 ${\mathrm{A} _{\mathit{n}}} ( a _{n} , 0 )$이라 하면, ${\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1}} ( a _{n + 1} , 0 )$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}}} = \overline{A _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1}}$이므로 ${\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}} ( a _{\mathit{n} + 1} , a _{n+1} - a _{n} )$이다.

${\mathrm{A} _{10}} ( a _{10} , 0 )$,${\mathrm{A} _{11}} ( a _{11} , 0 )$,${\mathrm{B} _{11}} ( a _{11} , a _{11} - a _{10} )$이고 삼각형 $\mathrm{A} _{10} A _{11} B _{11}$의 무게중심 ${\mathrm{G}} ( a , b )$의 좌표는 각각 다음과 같다. $\displaystyle a = \frac{a _{10} + a _{11} + a _{11}}{3}$, $\displaystyle b = \frac{a _{11} - a _{10}}{3}$이므로 $a + b = a _{11}$이다. 한편, $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} A _{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{A _{1} B _{2}} = \frac{1}{2} \overline{A _{1} B _{1}} = \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{1}{2} \overline{A _{\mathit{n} - 1} A _{\mathit{n}}} ( \text{단} , A _{0} = O )$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} - a _{n} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}$ $\displaystyle a _{n} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( \frac{1}{2} \right) ^{k}$ $\displaystyle a + b = a _{11} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \frac{1}{2} \right) ^{k}$ $\displaystyle = \frac{2 ^{11} - 1}{2 ^{10}}$