미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직각이등변삼각형 정사각형 급수

문제

아래와 같이 직각을 낀 두 변의 길이가 11인 직각이등변삼각형이 있다. 이 직각이등변삼각형의 빗변에 22개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 22개의 꼭짓점이 있는 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 합동인 22개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에 22개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 22개의 꼭짓점이 있는 22개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에서 합동인 44개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에 22개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 22개의 꼭짓점이 있는 44개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 모든 정사각형의 넓이의 합을 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

①3220\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{20}②25\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5}③310\displaystyle \frac{3}{10}④35\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{5}⑤25\displaystyle \frac{2}{5}

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⑤

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해설

처음 정사각형 넓이를 a1a _{1}이라고 하면 a1=29\displaystyle a _{1} = \frac{2}{9} AB‾:CD‾=1:23\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{CD}} = 1 : \frac{\sqrt{2}}{3}이므로 넓이의 비는 (23)2\displaystyle \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right) ^{2}이다.

∴a2=2⋅(29)⋅(29)\displaystyle \therefore a _{2} = 2 \cdot \left( \frac{2}{9} \right) \cdot \left( \frac{2}{9} \right) ∴an\therefore a _{n}∴an=2n−1⋅(29)⋅(29)n−1\displaystyle \therefore a _{n} = 2 ^{n - 1} \cdot \left( \frac{2}{9} \right) \cdot \left( \frac{2}{9} \right) ^{n - 1}=29⋅(49)n−1\displaystyle = \frac{2}{9} \cdot \left( \frac{4}{9} \right) ^{n-1} ∴lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1n29⋅(49)k−1=291−49=25\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{2}{9} \cdot \left( \frac{4}{9} \right) ^{k - 1} = \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{2}{5}

태그

#무한등비급수#닮음

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