미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직각이등변삼각형 극한

문제

자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A} _{n} ( x _{n} , 0 )$ , $\mathrm{B} _{n} ( 0 , x _{n} )$ , $\mathrm{C} _{n} ( x _{n} , x _{n} )$ 을 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형 $T _{n}$ 을 다음 조건에 따라 그린다.

(가) $x _{1} = 1$ 이다. (나) 변 $\mathrm{A} _{n+1} \mathrm{B} _{n+1}$ 의 중점이 $\mathrm{C} _{n}$ 이다. $( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$

삼각형 $T _{n}$ 의 넓이를 $a _{n}$ , 삼각형 $T _{n}$ 의 세 변 위에 있는 점 중에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $b _{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 ^{n} b _{n}}{a _{n} + 2 ^{n}}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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12

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해설

$A _{1} ( 1 , 0 ) , B _{1} ( 0 , 1 ) , C _{1} ( 1 , 1 )$ 에서 $\displaystyle a _{1} = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ , $b _{1} = 3$ $\displaystyle \overline{A _{2} B _{2}}$ 의 중점이 $C _{1} ( 1 , 1 )$ 이므로 $A _{2} ( 2 , 0 ) , B _{2} ( 0 , 2 ) , C _{2} ( 2 , 2 )$ $\displaystyle a _{2} = 2 \times 2 \times \frac{1}{2} = {2}$ , $b _{2} = 6$ $\displaystyle \overline{A _{3} B _{3}}$ 의 중점이 $C _{2} ( 2 , 2 )$ 이므로 $A _{3} ( 2 ^{2} , 0 ) , B _{2} ( 0 , 2 ^{2} ) , C _{2} ( 2 ^{2} , 2 ^{2} )$ $\displaystyle a _{3} = 2 ^{2} \times 2 ^{2} \times \frac{1}{2} = 8$ , $b _{3} = 12$ 따라서 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} \cdot 4 ^{n-1} , b _{n} = 3 \cdot 2 ^{n-1}$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{2 ^{n} b _{n}}{a _{n} + 2 ^{n}} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{2 ^{2n-1} \cdot 3}{2 ^{2n-3} + 2 ^{n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2 ^{2n-1} \cdot 3}{2 ^{2n}}}{\frac{2 ^{2n-3}}{2 ^{2n}} + \frac{2 ^{n}}{2 ^{2n}}}$ $\displaystyle = \frac{3 \cdot 2 ^{-1}}{2 ^{-3}} = 12$

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