직각이등변 반복

그림과 같이 직각이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 꼭지점 $\mathrm{A}$를 중심, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$를 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$와 만나는 점을 $\mathrm{A} _{1}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \perp \overline{A _{1} B _{1}}$이면서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$위에 있는 점을 $\mathrm{B} _{1}$, 다시 꼭지점 $\mathrm{B} _{1}$을 중심, $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}}$을 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{CB}} _{1}$과 만나는 점을 $\mathrm{B} _{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CB}} _{1} \perp \overline{A _{2} B _{2}}$이면서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} C}}$ 위에 있는 점을 $\mathrm{A} _{2}$라고 정하기로 한다.

위와 같은 과정을 계속 반복해 나갈 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} + \overline{A _{1} B _{1}} + \overline{A _{2} B _{2}} + \cdots$의 값은? (단, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2$) [4점] ①$\displaystyle 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$②$\displaystyle 4 - \sqrt{2}$③$\displaystyle 2 \sqrt{2}$④$\displaystyle 2 + \sqrt{2}$⑤$\displaystyle 2 + 2 \sqrt{2}$