직각으로 꺾이는 점열

[출제의도] 수열을 이용하여 점의 좌표를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} A _{2}} = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} A _{3}} = 3 \sqrt{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{3} A _{4}} = 4 \sqrt{2}$, … 이므로 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ ($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)의 $x$좌표를 $x _{n}$이라 하면 수열 $\left\{ x _{n} \right\}$은 다음과 같다. $1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , \cdots$ ∴ $x _{2 k - 1} = k$, $x _{2 k} = - k$ ($k = 1$, $2 ,$ $3$, $\cdots$) 한편, 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ ($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)의 $y$좌표를 $y _{n}$이라 하면 $\displaystyle y _{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 따라서 세 점 $\mathrm{A} _{19} , A _{20} , A _{21}$의 좌표는 $\mathrm{A} _{19} ( 10 , 190 ) , A _{20} ( - 10 , 210 ) , A _{21} ( 11 , 231 )$ 이므로 삼각형 $\mathrm{A} _{19} A _{20} A _{21}$의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{10 - 10 + 11}{3} , \frac{190 + 210 + 231}{3} \right)$ 즉, $\displaystyle \left( \frac{11}{3} , \frac{631}{3} \right)$이다. ∴ $\displaystyle a + b = \frac{11}{3} + \frac{631}{3} = \frac{642}{3} = 214$