증가함수가 되는 조건

[출제의도] 미분을 이용하여 함수의 그래프의 개형을 알 수 있는가? $f \left( x \right)$$= x ^{3} + ax ^{2} - \left( a ^{2} - 8 a \right) x + 3$에서 $f' \left( x \right)$$= 3 x ^{2} + 2 ax - \left( a ^{2} - 8 a \right)$$\geq 0$ 이때, 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 $f' \left( x \right)$$\geq 0$ 이때, 이차방정식 $f' \left( x \right)$$= 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} \leq 0$이어야 하므로 $\displaystyle \frac{D}{4}$$= a ^{2} - 3 \left( - a ^{2} + 8 a \right)$ $= 4 a ^{2} - 24 a$ $= 4 a \left( a - 6 \right) \leq 0$ 그러므로 $0 \leq a \leq 6$ 따라서 $a$의 최댓값은 $6$이다.