증가함수 조건

[출제의도] 도함수의 성질을 이해하여 문제를 해결한다. $f' ( x ) = ( 2 x + 2 a ) e ^{x} + ( x ^{2} + 2 ax + 11 ) e ^{x}$ $= \left\{ x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + 2 a + 11 \right\} e ^{x}$ 실수 전체의 집합에서 함수 $f ( x )$가 증가하므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f' ( x ) =$$\left\{ x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + 2 a + 11 \right\} e ^{x} \geq 0$ $e ^{x} > 0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + 2 a + 11 \geq 0$ 이차방정식 $x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + 2 a + 11 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = ( a + 1 ) ^{2} - ( 2 a + 11 )$$= a ^{2} - 10 \leq 0$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 최댓값은 $3$이다.