공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

제품 소재 역행렬 활용

문제

어느 회사에서 두 종류의 제품 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}를 생산하고 있다. P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}를 각각 한 개씩 생산할 때 사용되는 금과 은의 양은 다음과 같다.

소재 제품금은
P\mathrm{P}4411
Q\mathrm{Q}2233

(단위: g)

소재 제품금은
P\mathrm{P}4411
Q\mathrm{Q}2233

이 회사에서 금 130130g과 은 145145g을 모두 사용하여 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}를 각각 xx개, yy개 만들었다. 이때, 등식 (xy)=(a−1−1b)(1329)\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a & - 1 \\ - 1 & b \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 13 \\ 29 \end{pmatrix}}가 성립한다. 두 실수 aa, bb의 합 a+ba + b의 값은? [4점] ①−1- 1②11③33④55⑤77

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④

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해설

[출제의도] 재료와 관련하여 연립일차방정식을 세워 행렬의 성분을 구한다. 제품 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}를 각각 xx개, yy개 만들 때 사용되는 금과 은의 양이 각각 130130g, 145145g이므로 연립방정식을 세우면 {4x+2y=130x+3y=145\displaystyle {\begin{cases} 4 x + 2 y = 130 & \\ x + 3 y = 145 & \end{cases}} 정리하면 {2x+y=65x+3y=145\displaystyle {\begin{cases} 2 x + y = 65 & \\ x + 3 y = 145 & \end{cases}} 이고, 이를 행렬로 표현하면 다음과 같다. (2113)(xy)=(65145)\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 65 \\ 145 \end{pmatrix}} 행렬 (2113)\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}의 역행렬을 양변의 왼쪽에 곱하면 (xy)=(2113)−1(65145)\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}} ^{- 1} {\begin{pmatrix} 65 \\ 145 \end{pmatrix}}=15(3−1−12)(65145)\displaystyle = \frac{1}{5} {\begin{pmatrix} 3 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 65 \\ 145 \end{pmatrix}}=(3−1−12)(1329)\displaystyle = {\begin{pmatrix} 3 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 13 \\ 29 \end{pmatrix}} 한편 주어진 조건에서 (xy)=(a−1−1b)(1329)\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a & - 1 \\ - 1 & b \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 13 \\ 29 \end{pmatrix}}이므로 a=3a = 3, b=2b = 2 ∴\thereforea+b=5a + b = 5

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#역행렬#실생활

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