대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

제품 제작 시간 점화

문제

다음은 제품 $P _{n}$ 을 만드는 방법과 소요시간에 대한 설명이다. (단, $n = 2 ^{k} , k = 0 , 1 , 2 , 3 , \cdots$ )

가. 제품 $P _{1}$ 을 한 개 만드는 데 걸리는 시간은 $1$ 이다. 나. 제품 $P _{1}$ 을 차례대로 두 개 만든 다음에 이를 연결하면 제품 $P _{2}$ 가 만들어진다. 다. 제품 $P _{n}$ 을 차례대로 두 개 만든 다음에 이를 연결하면 제품 $P _{2n}$ 이 한 개 만들어진다. 이 때 제품 $P _{n}$ 을 두 개 연결하는데 걸리는 시간은 $2 n$ 이다.

이 때, 제품 $P _{16}$ 을 한 개 만드는 데 걸리는 시간은? [1점] ① $32$ ② $64$ ③ $80$ ④ $96$ ⑤ $112$

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③

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해설

$n = 2 ^{k}$ , $k = 0 , 1 , 2 , 3 , \cdots$ 이고 $p _{1} \rightarrow 1$ 시간 $p _{2} \rightarrow p _{1} p _{1}$ 연결 : $1 + 1 + 2 = 4$ 시간 $p _{4} \rightarrow p _{2} p _{2}$ 연결 : $4 + 4 + 2 \times 2 = 12$ 시간 $p _{8} \rightarrow p _{4} p _{4}$ 연결 : $12 + 12 + 2 \times 4 = 32$ 시간 $p _{16} \rightarrow p _{8} p _{8}$ 연결 : $32 + 32 + 2 \times 8 = 80$ 시간 따라서, $p _{16}$ 을 한 개 만드는 데 $80$ 시간이 걸린다.

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