접선의 y절편 함수

[출제의도] 도함수를 이용하여 추론하기 $\left| f \left( k \right) \right| + \left| g \left( k \right) \right| = 0$이려면 $f ( k ) = g ( k ) = 0$이어야 한다. $f ( k ) = 0$을 만족시키는 실수 $k$에 대하여 (ⅰ) $k = 0$인 경우 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $( 0 , 0 )$에서의 접선의 $y$절편 $g ( k )$의 값은 $\mathrm{0}$이다. (ⅱ) $k \neq 0$인 경우 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $( k , 0 )$에서의 접선의 $y$절편 $g ( k )$의 값이 $\mathrm{0}$이려면 $f' ( k ) = 0$이어야 한다. $\left| f \left( k \right) \right| + \left| g \left( k \right) \right| = 0$을 만족시키는 실수 $k$의 개수가 $\mathrm{2}$이므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

$f ( x ) = x ( x - a ) ^{2} = x ^{3} - 2 a x ^{2} + a ^{2} x ( a \neq 0 )$ $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 4 a x + a ^{2}$ 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $( t , f ( t ) )$에서의 접선의 방정식은 $y - \left( t ^{3} - 2 a t ^{2} + a ^{2} t \right) = \left( 3 t ^{2} - 4 a t + a ^{2} \right) ( x - t )$ 이 직선의 $y$절편이 $- 2 t ^{3} + 2 a t ^{2}$이므로 $g \left( t \right) = - 2 t ^{3} + 2 at ^{2}$ $4 f \left( 1 \right) + 2 g \left( 1 \right) = - 1$에서 $4 \left( 1 - 2 a + a ^{2} \right) + 2 \left( - 2 + 2 a \right) = - 1$ $4 a ^{2} - 4 a + 1 = \left( 2 a - 1 \right) ^{2} = 0$, $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 따라서 $\displaystyle f ( 4 ) = 4 \times \left( 4 - \frac{1}{2} \right) ^{2} = 49$