접선의 y절편 거리 함수의 미분가능성

[출제의도] 접선의 방정식을 구하고 함수가 미분가능할 조건을 구할 수 있는가? 접점 $( t , t ^{3} + at ^{2} + bt )$에서의 접선의 방정식은 $y = ( 3 t ^{2} + 2 at + b ) ( x - t ) + t ^{3} + at ^{2} + bt$ $y = ( 3 t ^{2} + 2 at + b ) x - 2 t ^{3} - at ^{2}$ 따라서, 접선이 $y$축과 만나는 점 $\mathrm{P}$는 $\mathrm{P} \mathit{(} 0 , - 2 t ^{3} - at ^{2} )$ 원점에서 점 $\mathrm{P}$까지의 거리 $g ( t )$는 $g ( t ) = | - 2 t ^{3} - at ^{2} | = t ^{2} \cdot | 2 t + a |$ ⅰ) $a > 0$일 때 ⅱ) $a = 0$일 때

ⅲ) $a < 0$일 때

따라서, 함수 $g ( t )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능이려면 $a = 0$ 조건 ㈎에서 $f ( 1 ) = 1 + a + b = 2$, $b = 1$ $\therefore f ( x ) = x ^{3} + x$ $\therefore f ( 3 ) = 3 ^{3} + 3 = 30$