접선의 y절편

점 $\left( 1 , 15 \right)$는 곡선 $y = x ^{3} - x ^{2} + ax + b$ 위의 점이므로 $15 = 1 - 1 + a + b$ $\therefore$ $a + b = 15$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $y = x ^{3} - x ^{2} + ax + b$에서 $y' = 3 x ^{2} - 2 x + a$ 점 $\left( 1 , 15 \right)$에서의 접선의 기울기는 $3 - 2 + a$, 즉 $a + 1$이므로 접선의 방정식은 $y - 15 = \left( a + 1 \right) \left( x - 1 \right)$ $\therefore y = \left( a + 1 \right) x - a + 14$ 접선의 $y$절편이 $16$이므로 $- a + 14 = 16$ $\therefore a = - 2$ $a = - 2$를 ㉠에 대입하면 $- 2 + b = 15$ $\therefore b = 17$ $\therefore b - a = 17 - \left( - 2 \right) = 19$