접선의 기울기 제곱합

직선 $y = ax$가 원 $\displaystyle ( x - 4 ) ^{2} + y ^{2} = \frac{4}{n ^{2}}$에 접하므로 원의 중심 $( 4 , 0 )$에서 직선 $ax - y = 0$에 이르는 거리와 원의 반지름의 길이 $\displaystyle \frac{2}{n}$가 같다. 즉, $\displaystyle \frac{| 4 a |}{\sqrt{a ^{2} + 1}} = \frac{2}{n}$이므로 $\displaystyle \frac{16 a ^{2}}{a ^{2} + 1} = \frac{4}{n ^{2}}$ $16 a ^{2} n ^{2} = 4 a ^{2} + 4$, $16 a ^{2} n ^{2} - 4 a ^{2} = 4$ $a ^{2} ( 16 n ^{2} - 4 ) = 4$, $\displaystyle a ^{2} = \frac{4}{16 n ^{2} - 4} = \frac{1}{4 n ^{2} - 1}$ 이때, $a = f ( n )$이므로 $a ^{2}$$= \left\{ f ( n ) \right\} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{4 n ^{2} - 1} = \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left\{ f ( n ) \right\} ^{2}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) \right.$$\displaystyle + \cdots + \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \right) \}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{21} = \frac{10}{21}$