공통수학2원의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선이 만드는 삼각형의 넓이로 기울기 구하기

문제

그림과 같이 원 x2+y2=4x ^{2} + y ^{2} = 4 에 접하고 기울기가 mm (m←1)( m \leftarrow 1 ) 인 직선이 xx 축, yy 축과 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 라 하자. 삼각형 OAB\mathrm{OAB} 의 넓이가 55 일 때, mm 의 값은? (단, O\mathrm{O} 는 원점이다.) [4점] ①−4- 4②−3- 3③−52\displaystyle - \frac{5}{2}④−2- 2⑤−32\displaystyle - \frac{3}{2}

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④

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해설

접선의 방정식을 y=mx+ky = mx + k (k>0)( k > 0 ) 이라 하면 원의 중심 (0,0)( 0 , 0 ) 과 이 직선 사이의 거리가 22 이므로 ∣k∣m2+1=2\displaystyle \frac{\left| k \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 2 에서 k2=4(m2+1)k ^{2} = 4 ( m ^{2} + 1 ) 이 직선의 xx 절편은 −km\displaystyle - \frac{k}{m}, yy 절편은 kk 이므로 A(−km,0)\displaystyle \mathrm{A} \left( - \frac{k}{m} , 0 \right), B(0,k)\mathrm{B} ( 0 , k ) m<0m < 0 이므로 삼각형 OAB\mathrm{OAB} 의 넓이는 12×(−km)×k=−k22m=−2(m2+1)m\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( - \frac{k}{m} \right) \times k = - \frac{k ^{2}}{2 m} = - \frac{2 ( m ^{2} + 1 )}{m} 이 값이 55 이므로 −2(m2+1)=5m- 2 ( m ^{2} + 1 ) = 5 m 2m2+5m+2=02 m ^{2} + 5 m + 2 = 0, (2m+1)(m+2)=0( 2 m + 1 ) ( m + 2 ) = 0 m=−12\displaystyle m = - \frac{1}{2} 또는 m=−2m = - 2 따라서 m←1m \leftarrow 1 이므로 m=−2m = - 2 ④

태그

#기울기가 주어진 접선#삼각형의 넓이#절편

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