접선과 x축 사이 원 급수

$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle b : a = \sqrt{15} : 4$ $\therefore b - r _{n + 1} : r _{n + 1} = 4 : 1$ $a : r _{n} = 4 : 1$ $4 r _{n + 1} = b - r _{n + 1}$, $b = 5 r _{n + 1}$, $a = 4 r _{n}$ $\displaystyle \therefore 5 r _{n + 1} : 4 r _{n} = \sqrt{15} : 4$ $\displaystyle r _{n + 1} = \frac{4 \sqrt{15}}{20} r _{n} = \frac{\sqrt{15}}{5} r _{n}$ $\therefore S _{n}$의 공비는 $\displaystyle \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\pi}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{5}{2} \pi$ [다른 풀이]

원 $C _{1} , C _{2}$의 중심을 각각 $Q _{1} , Q _{2}$라 하자. $\triangle OP _{1} Q _{1}$에서 $\displaystyle \overline{OP} _{1} = \sqrt{4 ^{2} - 1 ^{2}} = \sqrt{15}$이고, $\triangle OP _{1} Q _{1} \propto \triangle OP _{2} Q _{2}$이므로 $\displaystyle \overline{OP} _{1} : \overline{P _{1} Q _{1}} = \overline{OP} _{2} : \overline{P _{2} Q _{2}}$ $\displaystyle \sqrt{15} : 1 = 3 : \overline{P _{2} Q _{2}}$ ∴ $\displaystyle \overline{P _{2} Q _{2}} = \frac{3}{\sqrt{15}}$ 따라서, $\triangle OP _{1} Q _{1}$과 $\triangle OP _{2} Q _{2}$의 닮음비는 $\displaystyle \overline{P _{1} Q _{1}} : \overline{P _{2} Q _{2}} = 1 : \frac{3}{\sqrt{15}}$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1 : \frac{9}{15} = 1 : \frac{3}{5}$이다. 원 $C _{1}$의 넓이는 $S _{1} = \pi$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = S _{1} + S _{2} + S _{3} + \cdots$$\displaystyle = S _{1} + \frac{3}{5} S _{1} + \left( \frac{3}{5} \right) ^{2} S _{1} + \cdots$ $\displaystyle = \frac{S _{1}}{1 - \frac{3}{5}}$$\displaystyle = \frac{5}{2} S _{1}$$\displaystyle = \frac{5}{2} \pi$