공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 원의 교점

문제

그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 2인 원 위에 점 P\mathrm{P}가 있다. 점 P(a,b)\mathrm{P} \mathit{(} a , b )에서의 접선과 중심이 점(5,0)( 5 , 0 )이고 반지름의 길이가 1인 원이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 aa의 값의 범위는? [3점]

①0<a<45\displaystyle 0 < a < \frac{4}{5}②15<a<1\displaystyle \frac{1}{5} < a < 1③25<a<65\displaystyle \frac{2}{5} < a < \frac{6}{5}④35<a<75\displaystyle \frac{3}{5} < a < \frac{7}{5}⑤45<a<85\displaystyle \frac{4}{5} < a < \frac{8}{5}

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③

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해설

두 원을 각각 C1C _{1}, C2C _{2}라 하면 C1:x2+y2=4C _{1} : x ^{2} + y ^{2} = 4, C2:(x−5)2+y2=1C _{2} : ( x - 5 ) ^{2} + y ^{2} = 1 원 C1C _{1} 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=4ax + by = 4 ……………………………………… ㉠ 직선 ㉠이 원 C2C _{2}와 서로 다른 두 점에서 만나려면 C2C _{2}의 중심 (5, 0)에서 직선 ㉠에 이르는 거리가 반지름의 길이 1보다 작아야 하므로 ∣5a−4∣a2+b2<1\displaystyle \frac{| 5 a - 4 |}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} < 1 ……………………………… ㉡ 그런데, 점 P(a, b)가 C1C _{1} 위의 점이므로 a2+b2=4a ^{2} + b ^{2} = 4 ………………………………… ㉢ ㉡, ㉢에 의해 ∣5a−4∣<2| 5 a - 4 | < 2 ∴ 25<a<65\displaystyle \frac{2}{5} < a < \frac{6}{5}

태그

#접선#원과 직선

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