미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 tan3θ

문제

그림과 같이 직선 y=1y = 1위의 점 PP에서 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1에 그은 접선이 xx축과 만나는 점을 AA라 하고, ∠AOP=θ\angle AOP = \theta라 하자. OA‾=54\displaystyle \overline{OA} = \frac{5}{4}일 때, tan⁡3θ\tan 3 \theta의 값은? (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}이다.) [4점]

①44②92\displaystyle \frac{9}{2}③55④112\displaystyle \frac{11}{2}⑤66

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④

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해설

OQ‾=1\displaystyle \overline{OQ} = 1이므로 AQ‾=34=AR‾\displaystyle \overline{AQ} = \frac{3}{4} = \overline{AR}, ∠PAR=2θ\angle PAR = 2 \theta tan⁡θ=12\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{2}, tan⁡2θ=43\displaystyle \tan 2 \theta = \frac{4}{3} ∴\thereforetan⁡3θ=tan⁡(θ+2θ)=tan⁡θ+tan⁡2θ1−tan⁡θ⋅tan⁡2θ=112\displaystyle \tan 3 \theta = \tan ( \theta + 2 \theta ) = \frac{\tan \theta + \tan 2 \theta}{1 - \tan \theta \cdot \tan 2 \theta} = \frac{11}{2}

태그

#탄젠트 덧셈정리#원의 접선

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