접선과 삼각형 넓이 최대

[출제의도] 접선의 방정식을 이용하여 주어진 도형의 넓이가 최대가 되는 t의 값을 구할 수 있는가? $y' = - 2 e ^{-x}$이므로 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은 $y - 2 e ^{-t} = - 2 e ^{-t} ( x - t )$ $x = 0$을 대입하면 $y = 2 ( 1 + t ) e ^{-t}$에서 $\mathrm{A} ( 0 \mathit{,} 2 e ^{-t} ) ,$$\mathrm{B} ( 0 , \mathit{2} ( 1 + t ) e ^{-t} )$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{2} t e ^{-t}$ 삼각형 $\mathrm{APB}$의 넓이를 $S ( t )$라 하면 $\displaystyle S ( t ) = \frac{1}{2} \times 2 t e ^{-t} \times t$$= t ^{2} e ^{-t}$ $S' ( t ) = 2 t e ^{-t} - t ^{2} e ^{-t}$$= t ( 2 - t ) e ^{-t}$ $S ( t )$는 $t = 2$일 때, 극대이면서 최대이므로 구하는 $t$의 값은 $2$이다.