미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 삼각형 넓이

문제

[13~14] 두 함수 ${f ( x ) = x ^{2}}$ 과 ${g ( x ) = - \left( x - 3 \right) ^{2} + k}$ ${( k > 0 )}$ 에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\mathrm{P} \left( 1 , 1 \right)$ 에서의 접선을 $l$ 이라 하자. 직선 $l$ 에 곡선 $y = g \left( x \right)$ 가 접할 때의 접점을 $\mathrm{Q}$ , 곡선 $y = g ( x )$ 와 $x$ 축이 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{R}$ , $\mathrm{S}$ 라 할 때, 삼각형 $\mathrm{Q} RS$ 의 넓이는? [4점] ① $4$ ② $\displaystyle \frac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\displaystyle \frac{11}{2}$ ⑤ $6$

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⑤

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해설

[출제의도] 접선의 방정식 이해하기 $f' \left( x \right) = 2 x$ 이고 $f' ( 1 ) = 2$ 이므로 점 $\mathrm{P} ( 1 , 1 )$ 에서의 접선 $l$ 의 방정식은 $y = 2 x - 1$ 접점 $\mathrm{Q}$ 의 좌표를 $( a , b )$ 라 하면 $b = 2 a - 1$ 직선 $l$ 에 곡선 $y = g \left( x \right)$ 가 접하므로 $g' ( x ) = - 2 x + 6$ $g' \left( a \right) = - 2 a + 6 = 2$ $a = 2$ , $b = 3$ 이므로 점 $\mathrm{Q} ( 2 , 3 )$ $g \left( 2 \right) = 3$ 이므로 $k = 4$ 원점으로부터 가까운 점을 $\mathrm{R}$ 라 하면 $\mathrm{R} \left( 1 , 0 \right)$ , $\mathrm{S} \left( 5 , 0 \right)$ 따라서 삼각형 $\mathrm{QRS}$ 의 넓이는 $6$

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