접선과 삼차함수

[출제의도] 접선의 방정식을 활용하여 문제해결하기 $f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$라 하면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$ 이고, 두 점 $( 2 , 4 )$, $( - 1 , 1 )$을 지나는 직선의 방정식이 $y = x + 2$이므로

$f ( 2 ) = 4$에서 $4 a + 2 b + c = - 4$ $\cdots \cdots$ ㉠ $f ( - 1 ) = 1$에서 $a - b + c = 2$ $\cdots \cdots$ ㉡ $f' ( 2 ) = 1$에서 $4 a + b = - 11$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉠, ㉡, ㉢ 에 의하여 $a = - 3$, $b = 1$, $c = 6$ $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 6 x + 1$ 따라서 $f' ( 3 ) = 10$ [다른풀이] 두 점 $( 2 , 4 )$, $( - 1 , 1 )$을 지나는 직선의 방정식이 $y = x + 2$이므로 $f ( x ) - ( x + 2 ) = ( x - 2 ) ^{2} ( x + 1 )$ $f ( x ) = x ^{3} - 3 x ^{2} + x + 6$ $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 6 x + 1$ 따라서 $f' ( 3 ) = 10$