접선과 정적분으로 만든 함수의 극값

함수 $f ( x )$의 도함수 $f' \left( x \right)$$= \left| \sin x \right| \cos x$에서 $f' \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \sin x \cos x & \left( \sin x \geq 0 \right) \\ - \sin x \cos x & \left( \sin x < 0 \right) \end{cases}}$$\displaystyle = {\begin{cases} \frac{1}{2} \sin 2 x & \left( \sin x \geq 0 \right) \\ - \frac{1}{2} \sin 2 x & \left( \sin x < 0 \right) \end{cases}}$ 이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} - \frac{1}{4} \cos 2 x + C _{1} & \left( \sin x \geq 0 \right) \\ \frac{1}{4} \cos 2 x + C _{2} & \left( \sin x < 0 \right) \end{cases}}$ (단, $C _{1}$, $C _{2}$는 적분상수) 함수 $f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $x = \pi$에서 연속이다. $\displaystyle - \frac{1}{4} \cos 2 \pi + C _{1} = \frac{1}{4} \cos 2 \pi + C _{2}$, $\displaystyle C _{2} = C _{1} - \frac{1}{2}$ 따라서 함수 $f ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$h \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {\left\{ f \left( t \right) - g \left( t \right) \right\} dt}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $h' \left( x \right)$$= f \left( x \right) - g \left( x \right)$ 함수 $h \left( x \right)$가 $x = a$에서 극값을 가지므로 $h' \left( a \right) = 0$에서 $f \left( a \right) = g \left( a \right)$이고 $x = a$의 좌우에서 $h' \left( x \right)$의 부호가 바뀌어야 한다. $y = g \left( x \right)$가 곡선 $y = f \left( x \right)$위의 점 $\left( a , f \left( a \right) \right)$$\left( a > 0 \right)$에서의 접선의 방정식이므로 $x = a$의 좌우에서 $h' \left( x \right)$의 부호가 바뀌려면 점 $\left( a , f \left( a \right) \right)$는 함수 $f ( x )$의 변곡점이어야 한다. $f'' \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \cos 2 x & \left( \sin x \geq 0 \right) \\ - \cos 2 x & \left( \sin x < 0 \right) \end{cases}}$ $\cos 2 x = 0$에서 함수 $f \left( x \right)$는 $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \frac{3}{4} \pi$, $\displaystyle \frac{5}{4} \pi$, $\displaystyle \frac{7}{4} \pi$, $\cdots$ 에서 변곡점을 갖는다. 또한, 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \left( 2 n - 1 \right) \pi +} {f'' \left( x \right)} = - 1$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \left( 2 n - 1 \right) \pi -} {f'' \left( x \right) = 1}$ 이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 n \pi +} {f'' \left( x \right)} = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 n \pi -} {f'' \left( x \right) = - 1}$ 이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = n \pi$에서 변곡점을 갖는다. 따라서 함수 $h \left( x \right)$가 $x = a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a _{n}$이라 하면 $\displaystyle a _{1} = \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle a _{2} = \frac{3}{4} \pi$, $a _{3} = \pi$, $\displaystyle a _{4} = \frac{5}{4} \pi$, $\displaystyle a _{5} = \frac{7}{4} \pi$, $a _{6} = 2 \pi$, $\cdots$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{100}{\pi} \times \left( a _{6} - a _{2} \right)$$\displaystyle = \frac{100}{\pi} \left( 2 \pi - \frac{3}{4} \pi \right)$ $\displaystyle = \frac{100}{\pi} \times \frac{5}{4} \pi$ $= 125$