접선과 현이 이루는 각 빈칸

[출제의도] 원의 방정식을 이용하여 추론하기 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 그러므로 점 $\mathrm{O}$를 지나고 직선 $\mathrm{AB}$와 점 $\mathrm{A}$에서 접하는 원을 $C$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 내부에 있으며 $\mathrm{\angle} AOP = \angle BAP$를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$는 원 $C$ 위의 점이다. 원 $C$의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면 $\mathrm{\angle} OAC = 45 ^\circ$이므로 점 $C$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{k}{2} , \square {- \frac{k}{2}} \right)$이고원 $C$의 반지름의 길이는 선분 $\mathrm{AC}$의 길이와 같다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{\sqrt{\left( k - \frac{k}{2} \right) ^{2} + \left( 0 + \frac{k}{2} \right) ^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} k$ 이므로 원 $C$의 반지름의 길이는 $\displaystyle \square {\frac{\sqrt{2}}{2} k}$이다. 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $\mathrm{\angle} PCO = 45 ^\circ$일 때 최대이고 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표의 최댓값은 원 $C$의 중심의 $y$좌표와 원 $C$의 반지름의 길이의 합이므로 $\displaystyle M ( k ) = \mathit{-} \frac{k}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} k = \left( \square {\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} \right) \times k$이다. 따라서 $\displaystyle f ( k ) = \mathit{-} \frac{k}{2}$, $\displaystyle g ( k ) = \frac{\sqrt{2}}{2} k$, $\displaystyle p = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$이므로 $\displaystyle f ( p ) + g \left( \frac{1}{2} \right)$$\displaystyle = f \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \right) + g \left( \frac{1}{2} \right)$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{\sqrt{2} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{4}$