공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 할선 증명

문제

다음은 원 내부의 점 E\mathrm{E}에서 만나는 두 현 AB,CD\mathrm{AB} , \mathrm{CD}에 대하여 점 E\mathrm{E}를 지나며 현 BC\mathrm{BC}에 평행인 직선이 현 AD\mathrm{AD}의 연장선과 만나는 점을 F\mathrm{F}, 점 F\mathrm{F}에서 원에 그은 접선의 접점을 G\mathrm{G}라 할 때, EF‾=FG‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = \overline{FG}임을 증명하는 과정이다. (단, 선분 BC\mathrm{BC}와 선분 AD\mathrm{AD}는 평행하지 않다.)

∠FED\mathrm{\angle} FED와 (가) 는 동위각이므로 같고 원주각의 성질에 의하여 ∠BAD\mathrm{\angle} BAD와 (가) 는 같으므로 ∠FED=∠BAD\mathrm{\angle} FED = \angle BAD이다. ∠EFD\mathrm{\angle} EFD가 공통이므로 △FED\mathrm{\triangle} FED와 (나) 는 닮음이고 EF‾2=\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} ^{2} =(다) 이다.

접선과 할선의 성질에서 FG‾2=\displaystyle \mathrm{\overline{FG}} ^{2} =(다) 이다. 따라서 EF‾=FG‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = \overline{FG} 이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①∠BCD\mathrm{\angle} BCD△FAE\mathrm{\triangle} FAEAD‾⋅DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \cdot \overline{DF}
②∠BEF\mathrm{\angle} BEF△BCE\mathrm{\triangle} BCEDE‾⋅DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} \cdot \overline{DF}
③∠BCD\mathrm{\angle} BCD△BCE\mathrm{\triangle} BCEAD‾⋅DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \cdot \overline{DF}
④∠BEF\mathrm{\angle} BEF△FAE\mathrm{\triangle} FAEAF‾⋅DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} \cdot \overline{DF}
⑤∠BCD\mathrm{\angle} BCD△FAE\mathrm{\triangle} FAEAF‾⋅DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} \cdot \overline{DF}
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⑤

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해설

[출제의도] 평면도형의 성질을 이용하여 증명하기 ∠FED=\mathrm{\angle} FED =∠BCD\mathrm{\angle} BCD (동위각) ∠BAD=\mathrm{\angle} BAD = ∠BCD\angle \mathrm{BCD} (원주각) 이므로, ∠FED=∠BAD\mathrm{\angle} FED = \angle BAD …① ∠EFD\mathrm{\angle} EFD 는 공통 … ② ①， ② 로부터 △FED\mathrm{\triangle} FED󰁀 △FAE\mathrm{\triangle} FAE

∴\therefore EF‾2=\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} ^{2} = AF‾⋅DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} \cdot \overline{DF}

또, 접선과 할선의 성질로부터 FG‾2=\displaystyle \mathrm{\overline{FG}} ^{2} =AF‾⋅DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} \cdot \overline{DF}

따라서 EF‾=FG‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = \overline{FG} 이다.

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#원의 성질#닮음#증명

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