접선과 곡선 사이 넓이 함수

곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( t , f \left( t \right) \right)$에서의 접선의 방정식은 $y = f' \left( t \right) \left( x - t \right) + f \left( t \right)$ $f' \left( x \right) = - x + e ^{1 - x ^{2}}$에서 $f'' \left( x \right) = - 1 - 2 xe ^{1 - x ^{2}}$ 양수 $x$에 대하여 $f'' \left( x \right) < 0$이므로 곡선 $y = f \left( x \right)$은 $x > 0$에서 위로 볼록하다. 따라서 모든 양수 $x$에 대하여 부등식 $f' \left( t \right) \left( x - t \right) + f \left( t \right) \geq f \left( x \right)$이 양수 $t$의 값에 관계없이 항상 성립한다. $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{t} {\left| f \left( x \right) - \left\{ f' \left( t \right) \left( x - t \right) + f \left( t \right) \right\} \right| dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{t} {\left\{ f' \left( t \right) \left( x - t \right) + f \left( t \right) - f \left( x \right) \right\} dx}$ $f' \left( 1 \right) = 0$이므로 $\displaystyle g \left( 1 \right) = \int _{0} ^{1} {\left\{ f \left( 1 \right) - f \left( x \right) \right\} dx}$ 이때 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f \left( x \right) dx}$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} x \times f \left( x \right) \end{array} \right] _{0} ^{1} - \int _{0} ^{1} {x \times f' \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = f \left( 1 \right) - \int _{0} ^{1} {\left( - x ^{2} + xe ^{1 - x ^{2}} \right) dx}$ $\displaystyle = f \left( 1 \right) + \int _{0} ^{1} {x ^{2} dx} - \int _{0} ^{1} {xe ^{1 - x ^{2}} dx}$ 이고, $\displaystyle \int _{0} ^{1} {xe ^{1 - x ^{2}} dx}$에서 $1 - x ^{2} = u$라 하면 $\displaystyle \frac{du}{dx} = - 2 x$이고 $x = 0$일 때 $u = 1$, $x = 1$일 때 $u = 0$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {xe ^{1 - x ^{2}} dx} = \frac{1}{2} \int _{0} ^{1} {e ^{u} du} = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} e ^{u} \end{array} \right] _{0} ^{1} = \frac{e - 1}{2}$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f \left( x \right) dx} = f \left( 1 \right) + \frac{1}{3} - \frac{e - 1}{2} = f \left( 1 \right) - \frac{e}{2} + \frac{5}{6}$ 이므로 $\displaystyle g \left( 1 \right) = f \left( 1 \right) - \left\{ f \left( 1 \right) - \frac{e}{2} + \frac{5}{6} \right\} = \frac{e}{2} - \frac{5}{6}$ 한편 $g \left( t \right)$$\displaystyle = f' \left( t \right) \times \int _{0} ^{t} {x dx} - t ^{2} \times f' \left( t \right) + t \times f \left( t \right) - \int _{0} ^{t} {f \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = t \times f \left( t \right) - \frac{1}{2} t ^{2} \times f' \left( t \right) - \int _{0} ^{t} {f \left( x \right) dx}$ 이므로 $g' \left( t \right)$$\displaystyle = f \left( t \right) + t \times f' \left( t \right) - t \times f' \left( t \right) - \frac{1}{2} t ^{2} \times f'' \left( t \right) - f \left( t \right)$ $\displaystyle = - \frac{1}{2} t ^{2} \times f'' \left( t \right)$ $f'' \left( 1 \right) = - 3$이므로 $\displaystyle g' \left( 1 \right) = \frac{3}{2}$ $\displaystyle \therefore g \left( 1 \right) + g' \left( 1 \right) = \frac{1}{2} e + \frac{2}{3}$