공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 각이등분선

문제

그림과 같이 곡선 $y = x ^{2}$ 위의 점 ${\mathrm{P}} {( a , a ^{2} )}$ 에서 그은 접선을 $l _{1}$ 이라 하고, 직선 $l _{1}$ 과 $x$ 축이 이루는 각 중에서 큰 각을 이등분하는 직선을 $l _{2}$ 라고 하자. 직선 $l _{2}$ 의 방정식이 $\displaystyle y = - \sqrt{3} x + k$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $a > 0$ ) [4점] $y = x ^{2}$ $( a , a ^{2} )$

① $\displaystyle \frac{3}{4}$ ② $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ③ $1$ ④ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ⑤ $\displaystyle \sqrt{3}$

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①

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해설

직선 $\displaystyle y = - \sqrt{3} x + k$ 와 $x$ 축이 이루는 각은 $120 ^\circ$ 이므로 그림에서 $\angle \cdot = 60 ^\circ$ 이다. 따라서, 점 $P$ 에서의 접선과 $x$ 축의 양의 방향이 이루는 각은 $60 ^\circ$ 이고, 접선의 기울기는 $\displaystyle \sqrt{3}$ 이다. 따라서, 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \sqrt{3} x - k$ 곡선 $y = x ^{2}$ 과 접하므로 $\displaystyle x ^{2} = \sqrt{3} x - k$ $\displaystyle x ^{2} - \sqrt{3} x + k = 0$ 의 판별식 $D = 3 - 4 k = 0$ 이어야 한다. 따라서, $\displaystyle k = \frac{3}{4}$

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