접선과 등차수열 넓이

[출제의도] 등차수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 제1사분면에서의 직선과 원의 접점을 $\mathrm{R}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} = \sqrt{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 2$이고 $\angle \mathrm{OPR} = 45 ^\circ$이므로 삼각형 $\mathrm{OPR}$와 삼각형 $\mathrm{OAR}$는 합동이다. 따라서 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $( 0 , 2 )$이다.

$y = kx$

$\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = {\overline{PB}}$이고 $S _{1} , S _{2} , S _{3}$이 이 순서대로 등차수열을 이루고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} , \mathrm{\overline{QP}} , {\overline{PB}}$도 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $\displaystyle 2 \mathrm{\overline{QP}} = {\overline{AQ}} + {\overline{PB}}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = \mathit{m} , {\overline{\mathrm{QP}}} = n$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = \mathit{m} + n$이고 $2 n = 2 m + n$이므로 $m : n = 1 : 2$ 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{A} ( 0 , 2 )$와 점 $\mathrm{P} ( 2 , 0 )$을 $1 : 2$로 내분하는 점이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2}{3} , \frac{4}{3} \right)$이고 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $y = kx$ 위에 있으므로 $k = 2$ $100 k = 200$