미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 부등식

문제

[13-14] 닫힌 구간 ${[ 0 , 4 ]}$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle {f ( x ) = 2 \sqrt{2} \sin {\frac{\pi}{4}} x}$ 의 그래프가 그림과 같고 직선 ${y = g ( x )}$ 가 ${y = f ( x )}$ 의 그래프 위의 점 ${\mathrm{A} ( 1 , 2 )}$ 를 지난다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

일차함수 $g ( x )$ 가 닫힌 구간 $[ 0 , 4 ]$ 에서 $f ( x ) \leq g ( x )$ 를 만족시킬 때, $g ( 3 )$ 의 값은? [4점] ① $\pi$ ② $\pi + 1$ ③ $\pi + 2$ ④ $\pi + 3$ ⑤ $\pi + 4$

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③

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해설

$y = f ( x )$ 가 위로 볼록한 함수이므로 닫힌 구간 $[ 0 , 4 ]$ 에서 $f ( x ) \leq g ( x )$ 를 만족하는 직선 $g ( x )$ 는 $f ( x )$ 의 $( 1 , 2 )$ 에서의 접선이다.

$\displaystyle f' ( x ) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} \pi \cos \frac{\pi}{4} x$ 이므로 $\displaystyle f' ( 1 ) = \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle g ( x ) = \frac{\pi}{2} ( x - 1 ) + 2$ $\therefore g ( 3 ) = \pi + 2$

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