접선 y절편 증가

$f' ( x ) = 3 x ^{2} - 2 ( a + 2 ) x + a$이므로 점 $( t , f ( t ) )$에서의 접선의 방정식은 $y - \left\{ t ^{3} - ( a + 2 ) t ^{2} + at \right\}$$= \left\{ 3 t ^{2} - 2 ( a + 2 ) t + a \right\} ( x - t )$ $x = 0$일 때 $y = g ( t )$이므로 $g ( t ) - \left\{ t ^{3} - ( a + 2 ) t ^{2} + at \right\}$$= \left\{ 3 t ^{2} - 2 ( a + 2 ) t + a \right\} ( - t )$ ∴ $g ( t ) = - 2 t ^{3} + ( a + 2 ) t ^{2}$ $g' ( t ) = - 6 t ^{2} + 2 ( a + 2 ) t$이므로 이차함수 $g' ( t )$가 $0 < t < 5$에서 $g' ( t ) > 0$이려면 $g' ( 0 ) \geq 0$, $g' ( 5 ) \geq 0$이어야 한다. $g' ( 0 ) = 0$이고, $g' ( 5 ) = - 150 + 10 ( a + 2 ) \geq 0$이므로 $a \geq 13$ 따라서, 구하는 $a$의 최솟값은 $13$이다.