미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

접선 삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 ∠A=π3,∠C=π2\displaystyle \angle A = \frac{\pi}{3} , \angle C = \frac{\pi}{2}이고, 변 ACAC의 길이가 25\displaystyle 2 \sqrt{5}인 직각삼각형 ABCABC가 있다. 중심이 AA이고 변ACAC를 반지름으로 하는 원과 변ABAB가 만나는 점을 DD라 하자. 호CDCD 위의 점PP에 대하여 직선APAP와 변BCBC가 만나는 점을 QQ, 점PP에서의 접선과 변BCBC가 만나는 점을 RR, 점PP에서의 접선과 직선ACAC가 만나는 점을 SS라 하자. ∠PAC=θ(0<θ<π3)\displaystyle \angle PAC = \theta ( 0 < \theta < \frac{\pi}{3} )라 하고, 삼각형 QSRQSR의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→0+S(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}}의 값은? [4점]

①136\displaystyle \frac{13}{6}②73\displaystyle \frac{7}{3}③52\displaystyle \frac{5}{2}④83\displaystyle \frac{8}{3}⑤176\displaystyle \frac{17}{6}

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③

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해설

[출제의도] 도형에서 함수의 극한을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. P\mathrm{P}는 접점이므로 ∠APS=π2\displaystyle \angle \mathrm{APS} = \frac{\pi}{2} AP‾=AC‾=25\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 \sqrt{5}이고 ∠APS=π2\displaystyle \angle \mathrm{APS} = \frac{\pi}{2}이므로 AS‾=25cos⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{AS}}} = \frac{2 \sqrt{5}}{\cos \theta} CS‾=AS‾−AC‾=25cos⁡θ−25=25(1cos⁡θ−1)\displaystyle {\overline{\mathrm{CS}}} = {\overline{\mathrm{AS}}} - {\overline{\mathrm{AC}}} = \frac{2 \sqrt{5}}{\cos \theta} - 2 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} \left( \frac{1}{\cos \theta} - 1 \right) 삼각형 ARP\mathrm{ARP}와 삼각형 ARC\mathrm{ARC}는 합동이므로 RC‾=25tan⁡θ2\displaystyle {\overline{\mathrm{RC}}} = 2 \sqrt{5} \tan \frac{\theta}{2} QC‾=25tan⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{QC}}} = 2 \sqrt{5} \tan \theta이고 RC‾=25tan⁡θ2\displaystyle {\overline{\mathrm{RC}}} = 2 \sqrt{5} \tan \frac{\theta}{2}이므로 QR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}}=QC‾−RC‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{QC}}} - {\overline{\mathrm{RC}}} =25tan⁡θ−25tan⁡θ2\displaystyle = 2 \sqrt{5} \tan \theta - 2 \sqrt{5} \tan \frac{\theta}{2} =25(tan⁡θ−tan⁡θ2)\displaystyle = 2 \sqrt{5} \left( \tan \theta - \tan \frac{\theta}{2} \right) S(θ)=12×QR‾×CS‾\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{QR}}} \times {\overline{\mathrm{CS}}} =12×25(tan⁡θ−tan⁡θ2)×25(1cos⁡θ−1)\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \left( \tan \mathit{\theta} - \tan \frac{\theta}{2} \right) \times 2 \sqrt{5} \left( \frac{1}{\cos \theta} - 1 \right) =10(tan⁡θ−tan⁡θ2)×(1cos⁡θ−1)\displaystyle = 10 \left( \tan \mathit{\theta} - \tan \frac{\theta}{2} \right) \times \left( \frac{1}{\cos \theta} - 1 \right) 따라서 lim⁡θ→0+S(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}}} =lim⁡θ→0+10(tan⁡θ−tan⁡θ2)(1cos⁡θ−1)θ3\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{10 \left( \tan \theta - \tan \frac{\theta}{2} \right) \left( \frac{1}{\cos \theta} - 1 \right)}{\theta ^{3}}} =10lim⁡θ→0+{tan⁡θ−tan⁡θ2θ×(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)θ2cos⁡θ(1+cos⁡θ)}\displaystyle = 10 \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \left\{ {\frac{\tan \theta - \tan \frac{\theta}{2}}{\theta}} \times \frac{\left( 1 - \cos \theta \right) \left( 1 + \cos \theta \right)}{\theta ^{2} \cos \theta \left( 1 + \cos \theta \right)} \right\} =10×12×12\displaystyle = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=52\displaystyle = \frac{5}{2}

태그

#삼각함수의 극한#도형

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